Математическое моделирование устойчивости предохранительных целиков в слоистых породах при подземной разработке месторождений
Д.Ж. Акматов1,2, Р.В. Шевчук1,2,3, А.А. Зарубин1,2, Д.Д. Вейс1,2, М.В. Подлозная2
1 Геофизический центр Российской академии наук, г. Москва, Российская Федерация
2 Национальный исследовательский технологический университет «МИСИС», г. Москва, Российская Федерация
3 Институт физики Земли имени О.Ю. Шмидта Российской академии наук, г. Москва, Российская Федерация
Горная Промышленность №3/ 2026 стр. 72-78
Резюме: Для определения устойчивой формы целика в слоистых породах разработан комплекс математических моделей, каждая из которых соответствует отдельному слою массива. Устойчивая форма всего целика формируется путём объединения устойчивых форм отдельных слоёв. В частности, предполагается, что целик обладает слоистым строением и круглым поперечным сечением, на которое действует внешнее поле напряжений. Величина действующего напряжения определяется в том числе длиной трещин в верхнем слое массива. Устойчивость целика достигается при обеспечении равномерного макроскопического распределения напряжений в поперечном сечении, то есть при отсутствии скачков напряжений между слоями. Данное условие эквивалентно требованию равенства напряжений, приходящихся на единицу площади поперечного сечения, по всей высоте целика. Разработанные модели сводятся к краевым задачам для дифференциальных уравнений, описывающих форму кривых, соответствующих устойчивому состоянию каждого слоя. Решения этих уравнений позволяют определить уравнения формы отдельных слоёв, которые в совокупности формируют геометрическое описание устойчивой боковой поверхности всего целика. Проведённое численное моделирование напряжённо-деформированного состояния слоистого массива для рассчитанной формы целика подтвердило эффективность предложенной методики, показав снижение концентраций напряжений в центральной части и перераспределение нагрузки на более прочные слои.
Ключевые слова: математическое моделирование, целик, слоистые горные породы, устойчивость целика, макроскопическое поле напряжений, горное давление, эффективные упругие модули
Благодарности: Работа выполнена в рамках государственного задания Геофизического центра РАН, утвержденного Минобрнауки России.
Для цитирования: Акматов Д.Ж., Шевчук Р.В., Зарубин А.А., Вейс Д.Д., Подлозная М.В. Математическое моделирование устойчивости предохранительных целиков в слоистых породах при подземной разработке месторождений. Горная промышленность. 2026;(3):72–78. https://doi.org/10.30686/1609-9192-2026-3-72-78
Информация о статье
Поступила в редакцию: 11.02.2026
Поступила после рецензирования: 24.03.2026
Принята к публикации: 31.03.2026
Информация об авторах
Акматов Дастан Женишбекович – кандидат технических наук, старший научный сотрудник лаборатории геодинамики, Геофизический центр Российской академии наук, г. Москва, Российская Федерация; старший преподаватель кафедры геологии и маркшейдерского дела, Национальный исследовательский технологический университет «МИСИС», г. Москва, Российская Федерация; e-mail: Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.
Шевчук Роман Васильевич – кандидат технических наук, старший научный сотрудник лаборатории геодинамики, Геофизический центр Российской академии наук, г. Москва, Российская Федерация; старший преподаватель кафедры геологии и маркшейдерского дела, Горный институт, Национальный исследовательский технологический университет «МИСИС», г. Москва, Российская Федерация; научный сотрудник лаборатории геоинформатики, Институт физики Земли имени О.Ю. Шмидта Российской академии наук, г. Москва, Российская Федерация; e-mail: Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.
Зарубин Артем Алексеевич – инженер, сотрудник лаборатории геодинамики, Геофизический центр Российской академии наук, г. Москва, Российская Федерация; студент, Национальный исследовательский технологический университет «МИСИС», г. Москва, Российская Федерация; e-mail: Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.
Вейс Даниэль Дмитриевич – инженер, сотрудник лаборатории геоинформатики и больших данных Арктики, Геофизический центр Российской академии наук, г. Москва, Российская Федерация; студент, Национальный исследовательский технологический университет «МИСИС», г. Москва, Российская Федерация; e-mail: daniel. Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.
Подлозная Маргарита Владимировна – студент, Национальный исследовательский технологический университет «МИСИС», г. Москва, Российская Федерация; e-mail: Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.
Список литературы
1. Wang R., Shi Z., Fan J., Wang Y., Peng Y., He M., Zhang B. Research on narrow coal pillar width optimization and surround rock control in Shiquan mine. Rock Mechanics Bulletin. 2025;4(2):100172. https://doi.org/10.1016/j.rockmb.2024.100172
2. Maina D., Konietzky H. Factor of safety analysis for mine pillar considering the influence of the intermediate principal stress component. Green and Smart Mining Engineering. 2024;1(3):241–248. https://doi.org/10.1016/j.gsme.2024.07.001
3. Xia K., Chen C., Liu X., Liu X., Yuan J., Dang S. Assessing the stability of high-level pillars in deeply-buried metal mines stabilized using cemented backfill. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. 2023;170:105489. https:// doi.org/10.1016/j.ijrmms.2023.105489
4. Terron-Almenara J., Skretting E., Holter K.G., Høien A.H. Design of rock support in hard and layered rock masses using a hybrid method: A study based on the construction of the New Skarvberg Tunnel, Norway. Rock Mechanics and Rock Engineering. 2024;57(12):10491–10532. https://doi.org/10.1007/s00603-024-04082-3
5. Luo P., Li D., Zhang C., Ru W., Han Z., Ma J. Experimental investigation on biaxial mechanical properties of laminated rock and floor heave mechanism of tunnel based on DIC. Engineering Failure Analysis. 2024;156:107848. https://doi.org/10.1016/j. engfailanal.2023.107848
6. Татаринов В.Н., Акматов Д.Ж., Маневич А.И., Шевчук Р.В. Иерархический подход к оценке устойчивости геологической среды в геомеханических исследованиях. Горный журнал. 2024;(1):15–21. https://doi.org/10.17580/ gzh.2024.01.03
7. Татаринов В.Н., Гупало В.С., Акматов Д.Ж., Маневич А.И., Шевчук Р.В., Лосев И.В., Камаев А.А. Трехмерное моделирование напряженно-деформированного состояния и анализ стабильности породного массива при строительстве подземной исследовательской лаборатории. Записки Горного института. 2026;278:3–15. Режим доступа: https:// pmi.spmi.ru/pmi/article/view/16631 (дата обращения: 27.02.2026).
8. Liu S., Wan Z., Zhang Y., Lu S., Ta X., Wu Z. Research on evaluation and control technology of coal pillar stability based on the fracture digitization method. Measurement. 2020;158:107713. https://doi.org/10.1016/j.measurement.2020.107713
9. Li N., Zare M., Yi C., Jimenez R. Stability risk assessment of underground rock pillars using logistic model trees. International Journal of Environmental Research and Public Health. 2022;19(4):2136. https://doi.org/10.3390/ijerph19042136
10. Rafiei Renani H., Martin C.D. Modeling the progressive failure of hard rock pillars. Tunnelling and Underground Space Technology. 2018;74:71–81. https://doi.org/10.1016/j.tust.2018.01.006
11. Shi F., Fantuzzi N., Li Y., Trovalusci P., Wei Z. Modeling of dilatancy effect in layered rock with rough interfaces using micropolar continuum. Mechanics Research Communications. 2022;125:103994. https://doi.org/10.1016/j.mechrescom.2022.103994
12. Maheshwari P. Analysis of deformation of linear viscoelastic two layered laminated rocks. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. 2021;141:104681. https://doi.org/10.1016/j.ijrmms.2021.104681
13. Кузин Е.А., Халкечев К.В. Математическая модель определения формы устойчивого целика поликристаллической структуры в углевмещающих породах. Уголь. 2020;(2):22–25. https://doi.org/10.18796/0041-5790-2020-2-22-25
14. Mark C., Agioutantis Z. Analysis of coal pillar stability (ACPS): A new generation of pillar design software. International Journal of Mining Science and Technology. 2019;29(1):87–91. https://doi.org/10.1016/j.ijmst.2018.11.007
15. Frith R., Reed G. Coal pillar design when considered a reinforcement problem rather than a suspension proble. International Journal of Mining Science and Technology. 2017;28(1):11–19. https://doi.org/10.1016/j.ijmst.2017.11.013
16. Халкечев Р.К., Халкечев К.В. Разработка автоматизированной системы определения внешнего поля напряжений, действующего на породный массив. Горный информационно-аналитический бюллетень. 2017;(11):220–226. https:// doi.org/10.25018/0236-1493-2017-11-0-220-226
17. Халкечев К.В., Халкечев Р.К. Математическое моделирование неоднородного упругого поля напряжений породного массива кристаллической блочной структуры. Горный журнал. 2016;(3):24–26. https://doi.org/10.17580/ gzh.2016.03.05
18. Халкечев Р.К., Халкечев К.В. Управление селективностью разрушения горных пород на основе методов подобия и размерности в динамике трещин. Горный журнал. 2016;(6):64–66. https://doi.org/10.17580/gzh.2016.06.04
19. Халкечев Р.К. Применение теории мультифрактального моделирования процессов деформирования и разрушения породных массивов с целью краткосрочного прогнозирования внезапных выбросов угля и газа. Уголь. 2019;(7):48– 51. https://doi.org/10.18796/0041-5790-2019-7-48-50
20. Халкечев Р.К. Нечеткая математическая модель изменения концентрации трещин в минерале под действием внешней нагрузки. Горный информационно-аналитический бюллетень. 2019;(6):97–105. https://doi.org/10.25018/0236- 1493-2019-06-0-97-105
21. Халкечев Р.К. Экспертная система разработки математических моделей геомеханических процессов в породных массивах. Горный журнал. 2016;(7):96–99. https://doi.org/10.17580/gzh.2016.07.21
22. Морозов И.А., Паньков И.Л., Токсаров В.Н. Изучение устойчивости горных выработок в соляных породах. Горный информационно-аналитический бюллетень. 2021;(9):36–47. https://doi.org/10.25018/0236_1493_2021_9_0_36
