Повышение качества 3D моделирования угольных месторождений на основе использования теории сплайнов
Ю.Н. Кузнецов, д.т.н., профессор, Д.А. Стадник, к.т.н., доцент,
Н.М. Cтадник, аспирант, Московский государственный горный университет (МГГУ)
Одна из особенностей строения угольных месторождений состоит в наличии относительно четких контактов угольных пластов и вмещающих пород. Это значительно упрощает решение вопросов проектирования технологии горных работ и обоснования пространственно-планировочных решений. К тому же физикомеханические и качественные характеристики угля в пределах одного пласта, как правило, не имеют чрезвычайной изменчивости, что позволяет оперировать их средними величинами. Осадочное происхождение месторождений также даёт возможность рассматривать толщу вмещающих пород как единый горный массив, обладающий усреднённой по мощности горно-геологической информацией, особенно при пологом и горизонтальном залегании месторождений. Таким образом, наибольшую важность представляют данные об изменчивости мощности вмещающих пород и угольных пластов в пределах месторождения, которые можно получить с помощью моделирования.
В горном деле наибольшее распространение получило математическое моделирование месторождений. Математическая модель месторождения в общем виде представляет собой формализованное описание формы, структуры и качественных характеристик его в числовой или аналитической формах, позволяющих решать горно-геометрические, технологические и экономические задачи на ЭВМ. Известно, что для моделирования угольных месторождений наибольшее распространение получили аналитические модели. Форма залежей полезного ископаемого и распределение в них интересующих признаков описаны аналитическими зависимостями без расчленения описываемого объекта на элементы и в общем виде представляют собой набор аналитических функций f(x, y, z), с помощью которых в заданных областях трёхмерного пространства описывают формы месторождений и распределение признаков.
В качестве метода интерполяции для угольных месторождений, как правило, используют метод обратных расстояний. Но для повышения качества трёхмерного моделирования месторождения, особенно в отдельных случаях, когда известно варьирование в широких пределах некоторого качественного показателя, применение метода обратных расстояний – неэффективно. Это обусловлено тем, что основной недостаток интерполяционных многочленов как аппарата приближения функций, применяемого для восстановления дискретизированных показателей, состоит в том, что поведение этих многочленов в окрестности какой-либо точки определяет их поведение в целом. Если исследуемый показатель на разных участках ведёт себя по-разному, например, на одном участке постоянен, а затем круто убывает или возрастает и т.д., использование интерполяционных многочленов должных результатов не даёт.
В таких случаях предпочтительнее пользоваться сплайнами.
В настоящее время методы, основанные на сплайнах, заняли прочное место среди наиболее мощных средств вычислительной математики. Если еще в начале 1970-х годов слово «сплайн» звучало подчас экзотически даже для многих математиков, то в настоящее время оно стало общепринятым не только среди специалистов по теории приближения и вычислительной математики, но и среди инженеров, связанных с решением прикладных задач на ЭВМ. Популярность сплайнов объясняется в основном двумя причинами. Во-первых, сплайны представляют собой чрезвычайно мощное и гибкое средство решения разнообразных задач приближения функций. А эти задачи, помимо их самостоятельного значения, лежат в основе многих методов вычислительной математики. Во-вторых, алгоритмы, построенные с помощью сплайнов, эффективно реализуются на ЭВМ.
Таким образом, разработанные методы аппроксимации кривых и поверхностей с помощью сплайнов могут послужить эффективной базой для математического моделирования объектов сложной геометрической формы, каким обычно является угольное месторождение.
Применительно к горным объектам для построения трёхмерной модели угольного месторождения используются векторные, каркасные и блочные модели геологических тел. Формированию каркасных моделей предшествует создание векторных моделей тел. Векторные модели могут создаваться с использованием модели геологических проб, которые, в свою очередь, могут быть представлены в виде кондиционных интервалов. Для ускорения создания векторных моделей (при наличии геологических разрезов на бумажных носителях) их векторизованные изображения могут быть построены на плоскости разреза также при помощи сплайнов как контуры создаваемой модели геологического объекта. Каркасные модели тел в зависимости от способа создания могут быть слоевыми или поверхностными, причём границы слоя (поверхности) могут также определяться при помощи сплайнов.
Но наибольшую ценность для 3D моделирования угольных месторождений метод сплайнов представляет при создании блочной модели рудных тел, которые формируются в границах их каркасных моделей. В блочной модели определение показателей качества полезного ископаемого в блоках осуществляется на нормализованной модели геологических проб с использованием метода сплайнов. В основе большинства известных технологий моделирования месторождений лежит алгоритм кригинга показателя качества полезного ископаемого. При этом в объёме месторождения рассматривается сеть точек (i, j, k), каждая из которых является центром элементарного блока установленных размеров и объёма Vi,j,k. Значение показателя качества полезного ископаемого Сi,j,k трактуется как среднее для объёма Vi,j,k. При этом часть объёмов (обозначим их символом V) пересечена разведочными выработками и опробована. Для таких объёмов значение показателя качества может быть вычислено непосредственно (среднее арифметическое, среднее взвешенное и др.). Другая часть объёмов V не опробована и соответствующие им оценки показателя качества вычисляются путём кригинга.
Схема кригинга гистограмм приведена на рис 1.
Обращаясь к более детальному анализу природы изучаемого вопроса, следует иметь в виду, что оценка среднего в каждом объёме – это лишь небольшая и часто недостаточная информация для подсчета запасов и проектирования горных работ. Каждый объем Vi,j,k можно представить как совокупность более мелких объёмов, например, проб заданной геометрии, в каждой из которых можно определить значение показателя качества полезного ископаемого, а весь объём охарактеризовать после этого гистограммой (или функцией) распределения показателей Fi,j,k (с) с помощью метода сплайнов.
Основная идея применения сплайнов состоит в следующем. Интервал, на котором восстанавливают функцию, разбивают на подинтервалы, на каждом из которых функцию задают полиномом достаточно низкой степени и обеспечивают непрерывность кривой в точках «склейки» путём приравнивания значений полиномов на границах подинтервалов. При этом важным условием является также непрерывность нескольких производных.
Таким образом, сплайном называют совокупность многочленов степени n, заданных на i-том шаге дискретизации и удовлетворяющих условию т.е. степени n сплайн-функциями, составленными из «кусочков» многочленов данной степени, которые состыкованы так, чтобы получившаяся функция была непрерывной и имела несколько непрерывных производных.
Из вышеизложенного можно сделать вывод, что метод сплайнов наиболее эффективен для применения в области добычи данных по причине того, что он не опирается на предположения о типе и не накладывает ограничений на класс зависимостей (например, линейных, логистических и т.п.) между предикторными и зависимыми (выходными) переменными. А следовательно, он позволяет получить содержательные модели (т.е. модели, дающие достаточно точные предсказания) даже в тех случаях, когда связи между предикторными и зависимыми переменными имеют немонотонный характер и сложны для приближения параметрическими моделями. В условиях моделирования угольных месторождений данный метод, реализуясь на ЭВМ, полностью себя оправдывает и позволяет быстро, гибко и точно формировать границы распределения качественных показателей полезного ископаемого в недетерминированных условиях.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Кузнецов Ю.Н., Стадник Д.А. Концепция проектирова ния и управления отработкой запасов выемочных участков на базе информационных технологий. – М.: Изд во МГГУ, ГИАБ, №4, 2009. с. 279 285.
2. Кузнецов Ю.Н., Стадник Д.А. Структура системы технологического картографирования отработки запа сов выемочных участков угольных шахт. – М.: Изд во МГГУ, ГИАБ, №2, 2008. с. 233 238.
3. П.В. Васильев. Развитие горно геологических инфор мационных систем. Инф. бюллетень. М.: ГИС ассоциа ция. – 1999. №2(19). С. 32 33.
4. Добров Г.М. Прогнозирование науки и техники. – М.: Наука, 1969.
5. А.В. Самойлов, Моделирование строения угольных ме сторождений с целью обоснования технологии их разра ботки. – Красноярск, Наука. 1990.
6. Balusu R., Wendt M. and Xue S. 2001. Optimisation of inertisation practice. ACARP Project C9006, Exploration and Mining Report No: 907F.
7. Balusu R., Ren TX., and Humphries P. 2005. Proactive inertisation strategies and technology development. ACARP Project C12020: Exploration and Mining report No: 907F.
