Установление дифференциального закона распределения полного момента сопротивления на шнеко-фрезерном рабочем органе карьерного комбайна

А.А. Грабский, к.т.н., доцент, ФБГОУ ВПО Московский государственный горный университет

Одной из основных характеристик, которой необходимо располагать при описании случайных динамических нагрузок, воздействующих на механическую систему, является дифференциальный закон распределения ее текущих значений. В нашем случае воздействующей на шнек нагрузкой является суммарный момент сопротивления MΣ(t), возникающий со стороны разрабатываемого массива, поэтому необходимо определить закон p[MΣ(t)] распределения момента – p[MΣ(t)]. Если процесс стационарный, то распределение p[MΣ(t)] не изменяется во времени и p[MΣ(t)]=p(MΣ).

091 0

Карьерный комбайн MTS 250 на разработке продольного пласта
Джерой-Сардаринского месторождения фосфоритов (Узбекистан)

 При работе комбайна со стороны горного массива на шнековый рабочий орган действует момент сопротивления MΣ (рис. 1) равный сумме момента сил трения MT и момента сил разрушения MP:

091 f1 (1)

 где: σр – напряжение разрушения массива, ƒ – коэффициент трения рабочего органа массив.

 В выражении (1) выделим конструктивные параметры и примем коэффициент трения постоянным, тогда можно записать:

 091 f1 1

 где

091 f1 2

091 1

Рис. 1 Схема моментов действующих на шнеко-фрезерный рабочий орган при его вращении по часовой стрелке:
MT – момент сопротивления трению; MP – момент сил, необходимый для разрушения слоя фрезеруемой породы; ϕ – текущий угол поворота зуба вооружения, отсчитываемый от исходного положения точки; ϕ0 – угол контакта витка шнека со слоем фрезеруемой породы, С0 – толщина стружки

 В технической литературе описаны многочисленные экспериментальные исследования, которыми было установлено, что физико-механические характеристики (и, в частности, напряжение разрушения) являются случайными величинами, характеризуемыми средним значением mσp, дисперсией Dσp, законом распределения, от пространственной корреляционной функцией р(σр) координаты K(σр, x) и пр.

 Величины mσp, Dσp и р(σр) во многом определяют характер дальнейшего исследования. На рис. 2 приведены два возможных вида плотности вероятности р(σр).

 Первый вариант характеризуется относительно небольшим средним значением разрушающего напряжения Dр и его значительным разбросом, второй – большим средним значением и малым разбросом. Для первого варианта весьма желателен вероятностный подход, тогда как второй вариант допускает исследование поставленных задач детерминистическим методом.

Характерные виды дифференциального закона распределения напряжения разрушения p(σp)

Рис. 2 Характерные виды дифференциального закона распределения напряжения разрушения p(σp)

 Выполненные нами экспериментальные измерения показали, что напряжения σр изменяются весьма существенно и необходимо использовать статистический подход.

 Для общности решения задачи имеем что величина σ(x, y, z) характеризующая массив в выражении (2), является случайной величиной со своими вероятностными характеристиками, параметрами для нее являются расстояние по оси координат x или y, z (рис. 3).

 Такой подход является более общим, так как переход от статистического описания процесса к детерминированному возможен, тогда как наоборот нет.

 Примем, что ввиду малости размеров шнекового органа (ширина захвата B=2–2,5 м и диаметр шнека Д=2 м), существенных изменений компонентов напряжения σр(x, y, z) не происходит и в этом случае существенное изменение происходит по оси x, и тогда σр(x, y, z)=σр(x), то есть решаем одномерную задачу: При движении комбайна вдоль координаты x с постоянной скоростью υ момент сопротивления, являющийся функцией координаты x, путем замены x= υ t преобразуется в случайную функцию времени, т.е. в случайный процесс, т.е.

091 f1 3

 при этом вероятностные характеристики процесса, M'(t) могут изменить свои числовые значения.

 Таким образом задача сводится к оценке вероятностных характеристик стационарного случайного процесса.

 Если напряжение разрушения σр(х) зависит от скорости движения комбайна υ (скорость подачи), то вероятностные характеристики процесса М(t) будут изменяться. Рассмотрим случай, когда массив однороден и отрабатывается с постоянной скоростью.

 Предположим, что напряжение σх=ξх имеет некоторое распределение р(ξx) которое для реальных физических процессов должно удовлетворять следующим требованиям:

 1. Распределение должно быть одномодульным;

 2. Иметь ветви довольно быстро приближающиеся к нулю при возрастании аргумента.

 В этом случае плотности вероятности отвечающие указанным требованиям, удобно представить в виде ряда:

091 f2 (2)

 где: wξ(ξ) – нормальная плотность вероятности напряжения ξ; Нn(ξ) – одномерные номиналы Чебышева – Эрмита. – нормированная случайная величина ξ.

 091 f3(3)

 На практике неизвестную функцию р(ξ)=σx необходимо знать с некоторой конечной точностью, поэтому вместо экспериментально определенной плотности р(ξ) можно взять конечную сумму членов ряда, при этом число слагаемых будет зависеть от требуемой точности. В большинстве практических случаев наилучшее приближение при заданном числе членов N, будет тогда, когда m и σ2 выбраны равными среднему значению mξ и дисперсии σх 2 процесса ξ(t).

 Если среднее значения m⎩ и дисперсия σξ2 выбраны указанным образом, то b0=1, b1=0 и b2=0 и номиналы равны: Н0(z)=1, H1(z)=2, H2(z)=z2–1,H3(z)=z3–3z и т.д. Если в формуле (2) ограничится конечным числом членов N, то получим ряд Эдгиворта:

091 f4 (4)

 В выражении (4) первый член w1(ξ) – нормальная плотность вероятности процесса ξ(t) – процесса изменения во времени напряжения σх(t) при движении комбайна со скоростью вдоль пласта по координате х.

 Коэффициенты ряда b3/σ3 и b4/σ4 характеризуют отклонение плотности вероятности от нормальной и называются коэффициентами ассиметрии и эксцесса.

 

091 3

Рис. 3 Пространственные характеристики σp для пласта

 Если выразить полиномы Чебышева – Эрмита через производные от интеграла вероятности, то получается одномерный ряд Эджворта.

 091 f4 1

Таким образом, любое экспериментально полученное распределение для напряжения разрушения массива σох отвечающее двум ограничениям, указанным выше, может с той или иной степенью точности описанной нормальным законом распределения. Задача состоит в том, чтобы получив результаты, оценить насколько допустимо принять для дальнейших анализов нормальный закон распределения р(σх)ξ=w1(ξ).

 Для решения последующей задачи предположим, что такое решение принято и распределение р(σх) является нормальным.

 Далее рассмотрим решение конкретной задачи. На комбайне MTS-250 для снижения момента сопротивления МТ применено вибрационное устройство создающее виброгеологический эффект на режущем органе комбайна, в частности, снижающий коэффициент трения ƒ из формулы (1).

 В этом случае необходимо определить плотность вероятности суммарного момента возмущения M0(t), состоящего из суммы периодического возмущающего момента и момента Mп(t)=hh(t)·Rw и нормальным распределением MΣ(t).

 Для удобства решения задачи периодический возмущающий момент общего вида М0(t) представим в виде ряда Фурье:

 091 f5(5)

 где: j – мнимая единица; Аi – амплитуды гармоник, периодического момента.

 Если период возмущающего момента равен Т, то амплитуды гармоник могут быть вычислены по формуле:

091 f6 (6)

 Удержав в разложении (5) первый член, соответствующий основной частоте колебаний, запишем:

091 f7 (7)

  где: ϕ0 – случайная фаза равномерного распределения в интервале [0, π].

 Таким образом, задача сведена к нахождению плотности вероятности суммы двух случайных независимых моментов: нормально распределенного случайного момента МΣ и теперь уже гармонического момента Мв с частотой ω амплитудой А0 и случайной фазой ϕ0.

 Плотность вероятности для суммы двух случайных величин имеет вид [1]:

 091 f8(8)

 где для двух статистически независимых величин МΣ и Mп имеем:

 Тогда

091 f9 (9)

 Что после ряда преобразований дает следующие выражение для плотности вероятности р(М0):

 091 f10(10)

 Таким образом, определена плотность вероятности процесса распределение В.И. Тихонова. Варьируя параметры гармонического возмущения , можно добиться такого соотношения при котором амплитуда колебаний с частотой , будет наиболее вероятностной, что обеспечит значительный виброреологический эффект.

 Исследование данного распределения показало, что при малых значениях гармонической составляющей (отношение А0/σξ=0) распределение близко к нормальному, шнек находится под воздействием только момента МΣ(t), значение дифференциального закона распределения р(М) позволяет определить основные моменты, в частности, первый момент – mM0 и второй момент D0,

091 f30

 которые необходимы при исследовании динамических процессов в шнекофрезерном исполнительном органе комбайна. Вероятность ее появления также мала, что говорит о снижении влияния виброреологического эффекта. Появление сколько-нибудь заметных амплитуд гармонической составляющей обеспечивается при соотношении А0/σξ=3. Дальнейшее увеличение гармонической составляющей не увеличивает существенно виброреологический эффект, но мощность генератора периодических импульсов существенно увеличивается.


 

 ЛИТЕРАТУРА:

 1. Кантович Л.И. Влияние конструктивных, технологических и виброреологических парамет* ров на производительность карьерного комбайна со шнеко*фрезерным рабочим органом / Кантович Л.И., Грабский А.А. // Горное оборудование и электромеханика №1, ООО «Издатель* ство «Новые технологии», 2009, c. 5–11.

 2. Кранер Г. «Математические методы статистики». Мир, Москва 1975 г., 843с.

Журнал "Горная Промышленность" №5 2012, стр.91