Особенности отработки предохранительного целика между дном карьера и зоной ведения подземных горных работ на руднике «Интернациональный»

И.И. Айнбиндер , О.В. Овчаренко, П.Г. Пацкевич
Институт проблем комплексного освоения недр им. академика Н.В. Мельникова Российской академии наук, г. Москва, Российская Федерация
Горная Промышленность №5 / 2024 стр.52-58

Резюме: Выполнена оценка напряженно-деформированного состояния массива горных пород на руднике «Интернациональный» при отработке запасов верхних горизонтов. Рассмотрены варианты геотехнологии, наиболее приемлемые для данных условий: слоевая система с твердеющей закладкой выработанного пространства с камерно-целиковым порядком отработки запасов в слое и восходящим порядком выемки слоев, а также система с принудительным обрушением руды и вмещающих пород с торцевым выпуском руды. Проведено математическое моделирование изменения напряженно-деформированного состояния массива при выбранной схеме выемки на различных этапах. Показано, что напряжения, возникающие в рудном массиве в зоне ведения горных работ, не приведут к потере устойчивости и разрушению конструктивных элементов системы разработки, а следовательно, предлагаемые варианты геотехнологии позволят вынимать запасы предохранительного целика с минимальными потерями ценного сырья при обеспечении безопасных условий горных работ на руднике «Интернациональный».

Ключевые слова: предохранительный целик, безопасные параметры, напряженно-деформированное состояние горного массива, кимберлитовые трубки, физико-механические свойства пород, эксплуатация месторождения

Для цитирования: Айнбиндер И.И., Овчаренко О.В., Пацкевич П.Г. Особенности отработки предохранительного целика между дном карьера и зоной ведения подземных горных работ на руднике «Интернациональный». Горная промышленность. 2024;(5):52–58. https://doi.org/10.30686/1609-9192-2024-5-52-58

Информация о статье

Поступила в редакцию: 21.08.2024

Поступила после рецензирования: 19.09.2024

Принята к публикации: 20.09.2024

Информация об авторах

Айнбиндер Игорь Израилевич – доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник, Институт проблем комплексного освоения недр им. академика Н.В. Мельникова Российской академии наук, г. Москва, Российская Федерация; https://orcid.org/0000-0003-1053-1166; e-mail: Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.

Овчаренко Оксана Васильевна – кандидат технических наук, старший научный сотрудник, Институт проблем комплексного освоения недр им. академика Н.В. Мельникова Российской академии наук, г. Москва, Российская Федерация; https://orcid.org/0000-0002-8589-655X

Пацкевич Петр Геннадьевич – кандидат технических наук, заведующий лабораторией, Институт проблем комплексного освоения недр им. академика Н.В. Мельникова Российской академии наук, г. Москва, Российская Федерация

Введение

Большинство алмазоносных месторождений мира разрабатываются открытым и подземным способами, причем переход с открытой на подземную добычу возможен по последовательной и параллельной схемам [1; 2].

В первом случае эксплуатация месторождения ниже проектной отметки дна карьера начинается лишь после завершения открытых работ. При этом капитальные и подготовительные работы в подземном руднике должны быть завершены к моменту окончания работ в карьере. Однако на практике, как правило, наблюдается отставание подземных горных работ и значительный разрыв во времени между окончанием добычи руды открытым способом и началом подземной добычи руды.

В результате долгого стояния карьера происходит разрушение его бортов и осыпание пород на дно карьера, а также заполнение чаши карьера водой водоносных горизонтов и талых вод.

Все это приводит к необходимости при переходе на подземный способ разработки оставления временного предохранительного целика, отработка которого возможна только при развитии подземных работ в шахтном поле.

Характерным примером является выемка запасов на руднике «Мир» компании АК «АЛРОСА», когда после отработки карьера в 2001 г. очистные работы на подземном руднике начались только в 2009 г. Чтобы избежать обрушений бортов, на дне карьера на высоту 50 м была сооружена породная подсыпка и предполагалась постоянная откачка вод метегеро-ичерского комплекса, расположенного в пределах карьера. Между дном карьера и зоной подземных горных работ был образован временный предохранительный целик мощностью 40 м, ниже которого осуществлялась отработка руды слоевой нисходящей выемкой с закладкой выработанного пространства.

Нарушение параметров временного предохранительного целика и отказы в работе водоотлива, в результате чего произошло обводнение породной подсыпки и наполнение чаши карьера водой метегеро-ичерского водоносного горизонта, имеющие место недозаклады при нисходящей слоевой выемке привели в конечном итоге к разрушению части предохранительного целика в южном борту карьера и затоплению рудника [3].

На руднике «Пионер» (Амурская область) необоснованное отклонение от проектных параметров предохранительного целика, образованного после отработки карьера, также явилось основной причиной его обрушения в выработанное пространство подземного рудника, что привело к остановке предприятия.

Безопасная разработка всего подкарьерного массива зависит прежде всего от обеспечения устойчивости предохранительного целика, поэтому обоснование и выбор его параметров особенно актуальны.

При переходе с открытой на подземную добычу применяется параллельная схема открыто-подземного развития горных работ на месторождении, когда на стадии завершения работ в карьере в подземном руднике ведутся не только капитальные и подготовительные работы, но и очистная выемка. Такая схема обеспечивает безопасность работ и сохранение требуемого уровня производительности предприятия. Параллельная схема требует оставления временного подкарьерного целика, который впоследствии отрабатывают открытым способом с «посадкой» дна карьера на закладочный массив, заранее созданный подземными работами, или подземным способом из открытых камер. Наиболее удачен опыт перехода от открытых работ к подземным на руднике «Учалинский» компании УГМК. До окончания работ в карьере под ним была осуществлена выемка слоя высотой 9 м, последующая закладка выработанного пространства, а затем оставшаяся часть образованного предохранительного целика была отработана карьером. Дальнейшая подземная разработка запасов не вызвала осложнений [4; 5].

В мировой практике двухстадийной выемки кимберлитовых месторождений применяют исключительно последовательную схему перехода от открытого способа работ к подземному, при условии что очистная выемка подземных запасов начинается сразу после завершения работ в карьере без образования каких-либо целиков.

Наиболее богатый опыт открыто-подземной отработки кимберлитовых трубок накоплен в Южно-Африканской республике (трубки «Премьер», «Ягорсфонтейн», «Коффифонтейн», «Де-Бирс», «Финш» и др.). Глубина открытой разработки месторождений, как правило, не превышает 270 м. Анализ практики комбинированного (последовательного открыто-подземного) способа отработки этих трубок показал, что при его реализации применяют различные варианты системы с обрушением: от подэтажной отбойки до блокового самообрушения. При этом выпуск отбитой руды ведется как под искусственно созданной породной толщей пустых пород, которыми заполняют нижнюю часть карьера, так и в условиях «чистого» карьера, борта которого используются как дополнительная свободная поверхность [1; 6–8].

Особенности разработки алмазоносных месторождений России

Основные алмазоносные месторождения России расположены в республике Якутии (Саха) (прежде всего трубки «Интернациональная», «Мир», «Айхал» и «Удачная»). Все они характеризуются сочетанием уникальных гидрогеологических, горно-геологических и горнотехнических условий, осложняющих их разработку.

Наибольшие сложности при отработке запасов алмазосодержащих руд отмечаются на руднике «Интернациональный», где после отработки карьером запасов на глубину 300 м подземные горные работы начались на глубине 600–960 м из-за наличия в массиве мощного метегеро-ичерского горизонта в районе отметки +25 / –130 м. В качестве основной была обоснована послойная выемка руды системами разработки горизонтальными слоями с закладкой с применением на отбойке руды комплексов, состоящих из комбайна (комбайн «Альпина») и погрузочно-доставочных машин. В настоящее время горные работы ведутся в нижней части залежи на глубине 1300 м, а в верхней части трубки работы завершатся в ближайшее время в отметках 0 / +40 м, и встает вопрос об отработке подкарьерного целика, мощность которого составит 40–45м.

Технологическая схема отработки трубки «Интернациональная» показана на рис.1.

Рис. 1 Технологическая схема отработки трубки «Интернациональная»

Fig. 1 A technological diagram of the International pipe development

После завершения на руднике «Интернациональный» открытых горных работ, при переходе на подземный способ выемки запасов на дне карьера для исключения попадания воды в рудный массив было сооружено железобетонное перекрытие мощностью 1 м. Во время отработки запасов подземным способом произошло обрушение пород с бортов карьера, в результате чего в настоящее время мощность обрушенных пород на дне карьера составляет 50 м.

Следующий этап выемки предусматривает последующую отработку запасов верхних горизонтов трубки «Интернациональная» в отметках +85/+40 м, т.е. рудного целика. Следует отметить, что подкарьерная часть целика представлена сильнотрещиноватыми рудами, частично разрушенными при ведении взрывных работ в карьере. Для отработки подкарьерных запасов рассматривались следующие возможные варианты технических решений:

• система разработки горизонтальными слоями с твердеющей закладкой с нисходящим порядком выемки и камерно-целиковым порядком выемки в слое, начиная с дна карьера, под защитой железобетонного перекрытия;

• система с принудительным обрушением руды и вмещающих пород с торцевым выпуском руды на всю мощность предохранительного целика;

• система с вертикальным выбуриванием с последующей закладкой выработанного пространства твердеющими смесями.

Система с вертикальным выбуриванием признана нецелесообразной, так как, во первых, она предусматривает бурение со дна карьера, при этом отсутствует доступ для осуществления горных работ; во-вторых, не обеспечивает сохранность сырья высокой ценности – кристаллов алмаза, а также характеризуется высокими показателями потерь и разубоживания. Кроме того, эта система в данном случае технологически нереализуема, поскольку, в частности, для бурения со дна карьера требуется возведение на поверхности насыпи дополнительного конструктивного элемента – прочной платформы для размещения технологического оборудования (буровых установок); необходимо создание новых буровых головок с резцами скалывающего действия, не разрушающих кристаллы, а также надежное функционирование системы водоотведения.

Система разработки горизонтальными слоями с твердеющей закладкой с камерно-целиковым порядком выемки в слое характеризуется высокими показателями извлечения полезного ископаемого, но требует оценки устойчивости созданного на дне карьера железобетонного перекрытия, с учетом того, что в краевых зонах возможно его отсутствие. Этот вариант является технически приемлемым для выемки запасов верхних горизонтов. Обязательное условие успешного функционирования этой системы разработки – ликвидация свободной воды в чаше отработанного карьера.

В рассматриваемых условиях система с принудительным обрушением руды и вмещающих пород с торцевым выпуском руды – это технически наиболее надежный вариант, несмотря на более высокие показатели потерь и разубоживания по сравнению с системами с закладкой. Как и в предыдущем варианте, необходимое условие применения этой системы – отведение воды, поступающей в подземные выработки из чаши карьера.

Анализ ситуации, существующей в настоящее время на месторождении трубки «Интернациональная», и возможностей применения эффективных и безопасных способов выемки позволил предложить технологии, наиболее приемлемые для отработки запасов подкарьерного целика.

Запасы подкарьерного целика трубки «Интернациональная» в отметках +85 / +40 м предполагается отрабатывать поэтапно, для чего разработаны следующие варианты выемки:

1. Для выемки запасов горизонта +65 / +40 м – существующая технология ведения очистных работ, т.е. слоевая система с твердеющей закладкой выработанного пространства с камерно-целиковым порядком отработки запасов в слое и восходящим порядком выемки слоев с механизированной (комбайновой) отбойкой руды. Запасы эксплуатационного блока по вертикали разделяются на выемочные ленты и на отрабатываемые слои. Ширина очистных лент – 6,0 м, высота слоев – 5,5 м, ширина целиков между лентами – 6,0 м.

Выемка запасов горизонта +65 / +40 м осуществляется в две стадии:

• I стадия – отработка лент первой очереди с последующей закладкой выработанного пространства на высоту 25 м (восходящая выемка);

• II стадия – после набора закладочным массивом в лентах первой очереди необходимой прочности отработка лент второй очереди (между заложенными) и закладка выработанного пространства.

2. Для выемки запасов горизонта +85 / +65 м – отработка системой с принудительным обрушением руды и вмещающих пород с торцевым выпуском руды (III стадия). Принципиальная схема развития работ при отработке подкарьерного целика показана на рис. 2.

Рис. 2 Принципиальная схема развития работ при отработке подкарьерного целика на руднике «Интернациональный»: а – I стадия; б – II стадия; в – III стадия

Fig. 2 A general layout of the mining operations when developing the penthouse at the International mine: а – Stage I; б – Stage II; в – Stage III

Предлагаемая технология позволяет на первой и второй стадиях отработать запасы предохранительного целика апробированной схемой развития горных работ с минимальными потерями и разубоживанием руды. На первой стадии работ оставленный рудный массив будет поддерживаться временными рудными целиками, а на второй – твердеющей закладкой, которая по своим прочностным свойствам близка к рудному массиву. Успешное применение данного варианта выемки возможно только после обоснования устойчивости предохранительного целика уменьшенных размеров.

Для оценки устойчивости отрабатываемого массива в зоне ведения очистных работ при выемке запасов верхних горизонтов проведено математическое моделирование изменения его напряженно-деформированного состояния (НДС) для планируемых вариантов.

Математическое моделирование изменения НДС горного массива при выемке запасов верхних горизонтов трубки «Интернациональная» в отметках +85 / +40 м

Математическое моделирование изменения НДС отрабатываемого горного массива при выемке запасов верхних горизонтов выполнено методом конечных элементов [9; 10] с использованием программного комплекса ANSYS ¹. Рассматривалась объемная модель отрабатываемого участка.

На границе модели заданы горизонтальные напряжения исходного поля, составляющие 0,7 от вертикальных (по Н.К. Звонареву). Нижняя граница модели жестко закреплена, смещения

U_x = U_y = U_z = 0.

При моделировании использовались тетраэдрические конечные элементы с дополнительными узлами на серединах граней, сетка сгущалась вблизи выемочных камер. Нагрузка на дно карьера определялась весом обрушенных пород на дне карьера и наличием бетонной подушки мощностью 1 м.

Месторождение трубки «Интернациональная» расположено в зоне многолетней мерзлоты, нижняя граница которой проходит на глубинах 400–520 м. Горные работы ведутся в массиве, сложенном мерзлыми рудами и породами повышенной прочности и устойчивости. Такие породы можно отнести к упругим телам, поэтому в качестве геомеханической модели массива принята сплошная, однородная, квазиизотропная, упругая, весомая среда. Физико-механические характеристики горного и закладочного массивов, принятые в расчетах, приведены в табл. 1.

Таблица 1 Физико-механические свойства руд, вмещающих пород и закладки

Table 1 Physical and mechanical properties of the ores, host rocks and backfill materials

Исходные данные для моделирования:

• размеры карьера в плане по дну – 90×60 м;
• угол откоса борта карьера – 45°;
• абсолютная отметка дневной поверхности – +300 м;
• мощность обрушенных пород на дне карьера – 50 м;
• мощность бетонной подушки на дне карьера – 1 м;
• напряжения исходного поля:

– вертикальные – определяются весом налегающих пород,

– горизонтальные – составляют 0,7 от вертикальных.

Предварительные расчеты показали, что после выемки запасов, расположенных ниже горизонта +40 м, и закладки выработанного пространства, т.е. до начала отработки горизонта +85/+40 м, распределение напряжений в рудном массиве вполне типичное для подкарьерного массива и не обусловлено ведением горных работ на нижних горизонтах. Наблюдаются разгрузка от вертикальных напряжений под дном карьера и повышение горизонтальных напряжений в рудном массиве под бортами карьера на контакте с вмещающими породами.

Вертикальные напряжения в рудном массиве в отметках +85/+65 м, т.е. в контурах будущего целика, в центральной части составляют 2,0 МПа, увеличиваясь к периферии до 4,0–6,0 МПа из-за пригрузки от бортов карьера, а в отметках +65/+40 м, где влияние карьера не сказывается, не превышают 4,0 МПа. Горизонтальные напряжения в отметках +85/+40 м в основном не превышают 5,0–10,0 МПа.

На контакте с вмещающими породами наблюдается локальная зона повышенных до 15,0–20,0 МПа горизонтальных напряжений, ее размеры по горизонтали не более 2–3 м максимальны под бортами карьера вблизи длинной и короткой осей трубки. Эта зона, выклиниваясь, прослеживается на глубину 15–20 м от дна карьера, т.е. практически на всю вертикальную мощность рудного целика, не затрагивая нижележащий рудный массив, подлежащий отработке на I стадии выемки. Как показывает оценка по критерию Кулона-Мора, повышенные напряжения здесь не приведут к разрушению рудного массива, что позволяет приступить к отработке запасов горизонта +65 / +40 м.

Результаты моделирования изменения НДС массива при выемке запасов горизонта +65 / +40 м и полной отработке лент первой очереди системой разработки горизонтальными слоями с твердеющей закладкой (I стадия) представлены на рис. 3. Здесь показаны распределения горизонтальных σ x, σy и вертикальных sz напряжений в рудном и закладочном массивах под карьером. С учетом симметрии на рисунках показана ¼ часть разрабатываемого участка.

Рис. 3 Моделирование НДС горного массива при полной отработке лент первой очереди системой разработки горизонтальными слоями с твердеющей закладкой

Fig. 3 Modelling of the rock mass stress-and-strain condition for the development of ore using cut-and-fill mining method. I Stage

Как следует из рисунка, при полной отработке лент первой очереди и закладке выработанного пространства вертикальные напряжения в рудных целиках, воспринимающих основную нагрузку, что обусловлено наличием зазора между рудным и закладочным массивами (недозакладом, величина которого в расчетах принята равной 0,5 м) и деформационными свойствами закладки, не превышают 3,0–5,0 МПа, горизонтальные – 4,0–6,0 МПа. Горизонтальные напряжения в закладке не превышают 2,0– 4,0 МПа, вертикальные – менее 3,0 МПа. В целом рудный массив как на отрабатываемом горизонте, так и в границах предохранительного целика, а также железобетонное перекрытие устойчивы.

Результаты моделирования показали, что полная отработка запасов горизонта +65 / +40 м системой разработки горизонтальными слоями с твердеющей закладкой никак не сказалась на распределении горизонтальных напряжений в рудном массиве под бортами карьера. Размеры локальной зоны повышенных напряжений не изменились, так же как и величина напряжений в ней, т.е. зона влияния карьера по мере развития подземных горных работ не увеличилась.

В целом распределение и величины сжимающих напряжений в рудном массиве горизонта +85 / +65 м (т.е. в предохранительном целике) не изменились по сравнению с I стадией выемки.

Отмеченное отличие состоит в том, что при полной отработке запасов горизонта +65 / +40 м в рудном массиве (целике) над закладкой появляются растягивающие напряжения, как горизонтальные, так и вертикальные, обусловленные недозакладом. Локализация этих напряжений ограничена практически небольшим приповерхностным слоем, а их величина не превышает 2,0– 3,0 МПа, что меньше прочности кимберлитов на растяжение, поэтому нарушения сплошности и потери устойчивости отрабатываемого массива не ожидается. Однако, учитывая реальные условия отработки запасов: естественную трещиноватость массива, сложные климатические и гидрогеологические условия месторождения – следует обратить особое внимание на качество проведения закладочных работ и предусмотреть постоянный контроль за состоянием рудного массива в зоне ведения очистных работ.

Рис. 4 Моделирование НДС горного массива при отработке запасов системой с обрушением руды и вмещающих пород, Lx = 45,0 м

Fig. 4 Modelling of the rock mass stress-and-strain condition for the development of ore using sublevel caving system. Lx = 45,0 м

На рис. 4 показаны результаты моделирования НДС массива при отработке запасов горизонта +85 / +65 м системой с обрушением руды и вмещающих пород (III стадия выемки). Представлен вариант с шириной выработанного пространства, заполненного обрушенной породой, Lx = 45,0 м.

Как показали результаты моделирования, по мере отработки рудного массива горизонтальные напряжения в наиболее нагруженных его частях снижаются с 12,0–15,0 МПа до 4,0–8,0 МПа, вертикальные – с 6,0 до 3,0–4,0 МПа.

Таким образом, оценка изменения НДС массива при выбранной схеме выемки показала, что напряжения, возникающие в рудном массиве в зоне ведения горных работ, не приведут к разрушению и потере устойчивости конструктивных элементов системы разработки, а следовательно, предлагаемые варианты геотехнологии позволят с минимальными потерями ценного сырья и большей надежностью вынимать запасы предохранительного целика при обеспечении безопасных условий горных работ на руднике «Интернациональный».

Заключение

Анализ рассмотренных технологических схем перехода с открытого на подземный способ разработки месторождений показал, что предпочтение следует отдавать последовательной схеме развития горных работ, при этом на стадии завершения работ в карьере должны быть осуществлены вскрытие и подготовка рудного тела к подземной добыче.

Параллельная схема развития горных работ при одновременной работе открытым и подземным способами несомненно приведет к образованию временного предохранительного целика, выемку которого целесообразно проводить сразу после завершения работ в карьере. На последней стадии выемки запасов при отработке временного предохранительного целика его параметры необходимо выбирать исходя из условий длительного поддержания его устойчивости с учетом того, что в карьере накапливается значительный объем обводненных осыпей с бортов.

В этом случае отработку целика следует начинать после предварительного осушения карьера. В качестве основной рекомендуется применять систему разработки с обрушением руд и вмещающих пород.

При добыче особо ценных руд возможен вариант отработки части целика системами с закладкой выработанного пространства, а затем – системой с обрушением руды и вмещающих пород.

Данная технология должна быть обоснована расчетами напряженно деформированного состояния массива с оценкой устойчивости горных конструкций и сопровождаться его мониторингом в процессе очистной выемки запасов целика.

Список литературы

1. Каплунов Д.Р., Калмыков В.Н., Рыльникова М.В. Комбинированная геотехнология. М.: Руда и металлы; 2003. 560 с.

2. Анисимов К.А., Никифоров А.В. Современные технологии отработки алмазоносных месторождений. Известия Томского политехнического института. 2023;334(1):196–208. https://doi.org/10.18799/24131830/2023/1/3837 Anisimov K.A., Nikiforov A.V. Modern technologies of the development of diamondiferous deposits. Bulletin of the Tomsk Polytechnic University. Geo Аssets Engineering. 2023;334(1):196–208. (In Russ.) https://doi.org/10.18799/24131830/2023/1/3837

3. Акишев А.Н., Герасимов Е.Н., Зырянов И.В., Коровенков А.А., Кульминский А.С., Лобанов В.В. О возобновлении добычных работ на месторождении трубки «Мир». В кн.: Всероссийская конференция по проблемам восстановления отработки алмазоносного месторождения трубки «Мир» после аварии: сб. ст. M.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана; 2018. С. 5–15.

4. Казикаев Д.М., Козырев А.А., Каспарьян Э.В., Иофис М.А. Управление геомеханическими процессами при разработке месторождений полезных ископаемых. М.: Горная книга; 2016. 490 с.

5. Григорьев В.В., Сараскин А.В., Орлов М.П., Исаев В.Ю. Опыт разработки Учалинского месторождения медно-колчеданных руд. Горный журнал. 2004;(6):41–45. Режим доступа: https://www.rudmet.ru/journal/1093/article/18054/ (дата обращения: 13.05.2024). Grigor'ev V.V., Saraskin A.V., Orlov M.P., Isaev V.Yu. Experience of developing the Uchaly copper-sulphide ore deposit. Gornyi Zhurnal. 2004;(6):41–45. (In Russ.) Available at: https://www.rudmet.ru/journal/1093/article/18054/ (accessed: 13.05.2024).

6. Зубов В.П., Анисимов К.А. Ресурсосберегающая технология подземной отработки запасов алмазосодержащих кимберлитовых рудных тел ниже дна карьера под защитной подушкой. Горный журнал. 2023;(4):26–37. https://doi.org/10.17580/gzh.2023.04.05 Zubov V.P., Anisimov K.A. Resource-saving underground mining technology for diamond-bearing kimberlite ore under protective cushion below open pit mine bottom. Gornyi Zhurnal. 2023;(4):26–37. (In Russ.) https://doi.org/10.17580/gzh.2023.04.05

7. Owen K.C., Guest A.R. Underground mining of kimberlite pipe. In: Glen H.W., Afr S. (eds) Proceedings XVth CMMI Congress, Johannesburg. Inst. Min. Metall.; 1994, vol. 1, pp. 207–218.

8. Кузьмин Е.В., Узбекова А.Р. Технологии с самообрушением. Развитие и новые возможности. Горная промышленность. 2005;(3):36–39. Kuzmin E.V., Uzbekova A.R. Block caving mining methods. Evolution and new opportunities. Russian Mining Industry. 2005;(3):36–39. (In Russ.)

9. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир; 1984. 428 с.

10. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Fox D.D. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. Oxford: Butterworth – Heinemann; 2013. 672 p.